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<!DOCTYPE html>

<title>Halbeinfache Lie-Algebra</title>

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<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Halbeinfache Lie-Algebra</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Halbeinfache Lie-Algebren werden in der mathematischen Theorie der <a href="Lie-Algebren" class="mw-redirect" title="Lie-Algebren">Lie-Algebren</a> untersucht. Die <a href="Dimension_(Mathematik)" title="Dimension (Mathematik)">endlichdimensionalen</a>, halbeinfachen, komplexen Lie-Algebren lassen sich vollständig klassifizieren. Sie setzen sich aus <a href="Einfache_Lie-Algebra" class="mw-redirect" title="Einfache Lie-Algebra">einfachen Lie-Algebren</a> zusammen, woher ihr Name resultiert. Diese Theorie geht im Wesentlichen auf Arbeiten von <a href="Wilhelm_Killing" title="Wilhelm Killing">Wilhelm Killing</a> und <a href="%C3%89lie_Cartan" title="Élie Cartan">Élie Cartan</a> Ende des 19. Jahrhunderts zurück. Die heute zur Klassifikation verwendeten <a href="Dynkin-Diagramm" class="mw-redirect" title="Dynkin-Diagramm">Dynkin-Diagramme</a> wurden 1947 von <a href="Eugene_Dynkin" title="Eugene Dynkin">Eugene Dynkin</a> eingeführt. Wesentliche Teile der Theorie finden sich im Standardwerk von <a href="James_E._Humphreys" title="James E. Humphreys">James E. Humphreys</a> über <a href="Darstellung_(Lie-Algebra)" title="Darstellung (Lie-Algebra)">Darstellungen von Lie-Algebren</a> aus dem Jahre 1972,<a href="#cite_note-1">[1]</a> dort fehlt die Beschreibung der sogenannten exzeptionellen Lie-Algebren. Diese kann man in einem älteren Lehrbuch von <a href="Richard_D._Schafer" title="Richard D. Schafer">Richard D. Schafer</a> über nicht-assoziative Algebren aus dem Jahre 1966 finden.<a href="#cite_note-2">[2]</a> Das unten angegebene Lehrbuch von <a href="Roger_Carter_(Mathematiker)" title="Roger Carter (Mathematiker)">Roger Carter</a> enthält eine modernere, leicht zugängliche Darstellung.<a href="#cite_note-3">[3]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definitionen_und_Charakterisierungen">Definitionen und Charakterisierungen</h2></div>

Wir betrachten hier endlichdimensionale Lie-Algebren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy"> über einem <a href="Algebraischer_Abschluss" title="Algebraischer Abschluss">algebraisch abgeschlossenen</a> <a href="K%C3%B6rper_(Algebra)" title="Körper (Algebra)">Körper</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy"> der <a href="Charakteristik_(Algebra)" title="Charakteristik (Algebra)">Charakteristik</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}" loading="lazy">, der Körper <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} }" loading="lazy"> der <a href="Komplexe_Zahl" title="Komplexe Zahl">komplexen Zahlen</a> ist das prominenteste Beispiel. Manche der folgenden Ausführungen kommen mit schwächeren Voraussetzungen an den Grundkörper aus, aber an einigen Stellen der Theorie benötigt man die Existenz von <a href="Eigenwert" class="mw-redirect" title="Eigenwert">Eigenwerten</a> und daher die algebraische Abgeschlossenheit, und die Division durch ganze Zahlen und daher die Charakteristik <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}" loading="lazy">.

Es gibt eine Reihe äquivalenter Möglichkeiten, halbeinfache Lie-Algebren zu definieren.<a href="#cite_note-Humphreys_Chapter_II-4">[4]</a> Eine Lie-Algebra heißt einfach, falls sie nicht <a href="Abelsche_Lie-Algebra" title="Abelsche Lie-Algebra">abelsch</a> ist und außer dem <a href="Nullvektorraum" title="Nullvektorraum">Nullraum</a> und sich selbst keine weiteren <a href="Lie-Algebra#Unteralgebra" title="Lie-Algebra">Ideale</a> enthält. Die namensgebende Definition lautet:

<ul><li>Eine Lie-Algebra heißt halbeinfach, wenn sie eine direkte Summe einfacher Ideale ist.</li></ul>

Eine alternative Beschreibung verwendet das <a href="Radikal_(Mathematik)" title="Radikal (Mathematik)">Radikal</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {Rad} (L)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {Rad} (L)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87d6cd1fc5d3596be312c75361048f3f081c2044.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.558ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {Rad} (L)}" loading="lazy"> einer Lie-Algebra <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy">, das sich als größtes <a href="Aufl%C3%B6sbare_Lie-Algebra" class="mw-redirect" title="Auflösbare Lie-Algebra">auflösbares</a> Ideal in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy"> definieren lässt.

<ul><li>Eine Lie-Algebra ist genau dann halbeinfach, wenn ihr Radikal der Nullraum ist.</li></ul>

Daraus ergibt sich sofort

<ul><li>Eine Lie-Algebra ist genau dann halbeinfach, wenn sie keine vom Nullraum verschiedenen auflösbaren Ideale enthält.</li>

<li>Eine Lie-Algebra ist genau dann halbeinfach, wenn sie keine vom Nullraum verschiedenen abelschen Ideale enthält.</li></ul>

Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {ad} :L\rightarrow {\mathfrak {gl}}(L)}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {ad} :L\rightarrow {\mathfrak {gl}}(L)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6ddb917960d9e630e02f15474b623490a3e871c0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.804ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {ad} :L\rightarrow {\mathfrak {gl}}(L)}" loading="lazy"> die <a href="Darstellung_(Lie-Algebra)" title="Darstellung (Lie-Algebra)">adjungierte Darstellung</a>, die jedes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/97fca945ad424639c27ec8dccaf96c0bda408d3d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.753ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in L}" loading="lazy"> auf den durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\mathrm {ad} \,x)(y):=[x,y]}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\mathrm {ad} \,x)(y):=[x,y]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2fd13348f120ded56984dba33e9321f3c3a9fa94.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.504ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\mathrm {ad} \,x)(y):=[x,y]}" loading="lazy"> definierten <a href="Endomorphismus" title="Endomorphismus">Endomorphismus</a> auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy"> abbildet, so wird durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \kappa (x,y):=\mathrm {Spur} ((\mathrm {ad} \,x)(\mathrm {ad} \,y))}">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \kappa (x,y):=\mathrm {Spur} ((\mathrm {ad} \,x)(\mathrm {ad} \,y))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72a3f4f5a258a79067e2640d715bbc646781aa22.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.799ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \kappa (x,y):=\mathrm {Spur} ((\mathrm {ad} \,x)(\mathrm {ad} \,y))}" loading="lazy"> eine <a href="Bilinearform" title="Bilinearform">symmetrische Bilinearform</a> auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy"> definiert, die nach Wilhelm Killing benannte <a href="Killing-Form" title="Killing-Form">Killing-Form</a>.

<ul><li>Eine Lie-Algebra ist genau dann halbeinfach, wenn ihre Killing-Form <a href="Bilinearform" title="Bilinearform">nicht-ausgeartet</a> ist.</li></ul>

Dieses <a href="Cartan-Kriterium" title="Cartan-Kriterium">Cartan-Kriterium</a> ist prinzipiell ein Verfahren zur Überprüfung der Halbeinfachheit, auch wenn dies im Einzelfall sehr mühsam sein kann. Man bestimme die Killing-Form, genauer die darstellende Matrix bzgl. einer <a href="Basis_(Vektorraum)" title="Basis (Vektorraum)">Basis</a>. Die Lie-Algebra ist genau dann halbeinfach, wenn die <a href="Determinante" title="Determinante">Determinante</a> dieser Matrix nicht 0 ist.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiele">Beispiele</h2></div>

Das einfachste Beispiel ist die <a href="Sl(2%2CC)" title="Sl(2,C)">dreidimensionale, spezielle, lineare Lie-Algebra</a>

</mrow>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )=\{z\in \mathrm {Mat} (2,\mathbb {C} )|\,\mathrm {Spur} (z)=0\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/689f175e05ddafa1be12510f219d4594037726b8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.041ex; width:39.621ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )=\{z\in \mathrm {Mat} (2,\mathbb {C} )|\,\mathrm {Spur} (z)=0\}}" loading="lazy"></dd></dl>

mit der Basis

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</mtable>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\quad h={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\quad y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/618859dbeb30946bc4e4d5312ccafe98b242c628.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:48.101ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle x={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\quad h={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\quad y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Bezüglich der angegebenen Basis haben die Adjungierten der Basis-Elemente folgende Matrix-Darstellungen, die wir als Gleichheit schreiben:

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</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {ad} \,x\,=\,{\begin{pmatrix}0&-2&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}},\quad \mathrm {ad} \,h\,=\,{\begin{pmatrix}2&0&0\\0&0&0\\0&0&-2\end{pmatrix}},\quad \mathrm {ad} \,y\,=\,{\begin{pmatrix}0&0&0\\-1&0&0\\0&2&0\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5b61d5277b18f693914143d102164bf1511b822.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:74.958ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {ad} \,x\,=\,{\begin{pmatrix}0&-2&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}},\quad \mathrm {ad} \,h\,=\,{\begin{pmatrix}2&0&0\\0&0&0\\0&0&-2\end{pmatrix}},\quad \mathrm {ad} \,y\,=\,{\begin{pmatrix}0&0&0\\-1&0&0\\0&2&0\end{pmatrix}}}" loading="lazy">.

Dies liest man aus den Kommutatorbeziehungen der Basis-Elemente ab. Da zum Beispiel

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</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\mathrm {ad} \,h)(x)=[h,x]={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}=2{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}=2x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a115447fc5e43f307ac81209935bd74b3a67f37f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:80.731ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle (\mathrm {ad} \,h)(x)=[h,x]={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}=2{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}=2x}" loading="lazy">,</dd></dl>

ergibt sich die erste Spalte der Matrix-Darstellung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {ad} \,h}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {ad} \,h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/83065c05299301af38d26b1e8921bea32c28bdcd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.181ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {ad} \,h}" loading="lazy"> usw.

Die darstellende Matrix der Killing-Form besteht definitionsgemäß aus den Spuren aller möglichen Produkte dieser 3er-Matrizen und man erhält nach einiger Rechnung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&4\\0&8&0\\4&0&0\end{pmatrix}}}">

<mrow>

<mtr>

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</mtd>

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</mtd>

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</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&4\\0&8&0\\4&0&0\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b598a49ed92098d1901acbd44edff948ea04dca3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:12.951ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&4\\0&8&0\\4&0&0\end{pmatrix}}}" loading="lazy"> mit Determinante −128. Also ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,C)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,C)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ded600e15b581e1b97149bb9ef0fcefaa3fdb3cb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.041ex; width:7.494ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,C)}" loading="lazy"> nach dem Killing-Form Kriterium halbeinfach. Man kann leicht zeigen, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,C)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,C)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ded600e15b581e1b97149bb9ef0fcefaa3fdb3cb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.041ex; width:7.494ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,C)}" loading="lazy"> sogar einfach ist, was die aufwändige Rechnung einsparen würde, aber wir werden dieses Beispiel unten noch einmal aufgreifen.

Da wir im Rahmen der Klassifikation alle halbeinfachen Lie-Algebren angeben werden, erübrigen sich hier weitere Beispiele.

Die <a href="Allgemeine_lineare_Lie-Algebra" title="Allgemeine lineare Lie-Algebra">allgemeine lineare Lie-Algebra</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {gl}}(\mathbb {C} ^{n})}">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {gl}}(\mathbb {C} ^{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/26cbad77c409895b1f86a8b1bdaf1a8c9d1bb657.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.529ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {gl}}(\mathbb {C} ^{n})}" loading="lazy"> ist nicht halbeinfach, denn die Vielfachen der <a href="Einheitsmatrix" title="Einheitsmatrix">Einheitsmatrix</a> bilden ein abelsches Ideal. Dieses ist gleich dem Radikal dieser Algebra.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Grundlegende_Eigenschaften">Grundlegende Eigenschaften</h2></div>

Zunächst kann man aus jeder Lie-Algebra eine halbeinfache konstruieren:

<ul><li>Für jede Lie-Algebra <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy"> ist die <a href="Faktorraum" title="Faktorraum">Quotientenalgebra</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L/\mathrm {Rad} (L)}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L/\mathrm {Rad} (L)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a1f438967d85f36c488e050e695d476f71cb47a0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.303ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle L/\mathrm {Rad} (L)}" loading="lazy"> halbeinfach.</li></ul>

Die obige Liste der äquivalenten Charakterisierungen stellt gleichzeitig eine Liste von Eigenschaften halbeinfacher Lie-Algebren dar. Weitere Eigenschaften einer halbeinfachen Lie-Algebra <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy"> sind:<a href="#cite_note-Humphreys_Chapter_II-4">[4]</a>

<ul><li>Ideale und homomorphe Bilder sind wieder halbeinfach.</li>

<li>Das <a href="Zentrum_(Algebra)" title="Zentrum (Algebra)">Zentrum</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy"> ist der Nullraum, denn das Zentrum ist ein abelsches Ideal.</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L\,=\,[L,L]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81136e64af827482bdae0ee6013e50e1a8311395.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.949ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle L\,=\,[L,L]}" loading="lazy">, das heißt, die von allen Produkten erzeugte Unteralgebra fällt mit der Algebra selbst zusammen.</li>

<li>Nach dem <a href="Satz_von_Weyl_(Lie-Algebra)" title="Satz von Weyl (Lie-Algebra)">Satz von Weyl</a> ist jede endlichdimensionale <a href="Darstellung_(Lie-Algebra)" title="Darstellung (Lie-Algebra)">Darstellung</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy"> <a href="Darstellung_(Lie-Algebra)" title="Darstellung (Lie-Algebra)">vollständig reduzibel</a>.</li>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {ad} \,L\,=\,\mathrm {Der} (L)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dfe6157a5865e497f7d22a6ec876e8ffa26a8396.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.409ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {ad} \,L\,=\,\mathrm {Der} (L)}" loading="lazy">, das heißt, die Lie-Algebra der <a href="Derivation_(Mathematik)" title="Derivation (Mathematik)">Derivationen</a> auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy"> stimmt mit dem Bild der <a href="Darstellung_(Lie-Algebra)" title="Darstellung (Lie-Algebra)">adjungierten Darstellung</a> überein, kurz alle Derivationen auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy"> sind inner.</li>

<li>Die <a href="Cartan-Unteralgebra" title="Cartan-Unteralgebra">Cartan-Unteralgebren</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy"> sind genau die maximalen Unteralgebren aus <a href="Diagonalisierbarkeit" class="mw-redirect" title="Diagonalisierbarkeit">diagonalisierbaren</a> Elementen. Diese Unteralgebren sind abelsch.<a href="#cite_note-5">[5]</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Klassifikation">Klassifikation</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Einleitung">Einleitung</h3></div>

Im Folgenden betrachten wir nur Lie-Algebren über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik 0. Die endlichdimensionalen, halbeinfachen unter ihnen lassen sich vollständig klassifizieren. Dazu wird jeder solchen Algebra ein geometrisches Objekt, ein sogenanntes <a href="Wurzelsystem" title="Wurzelsystem">reduziertes Wurzelsystem</a>, zugeordnet. Dabei handelt es sich um ein endliches Erzeugendensystem eines euklidischen Vektorraums mit einschränkenden Bedingungen für Winkel und Längenverhältnisse unter den erzeugenden Vektoren. Dann zeigt man, dass durch dieses Wurzelsystem die Isomorphie-Klasse der halbeinfachen Lie-Algebra eindeutig bestimmt ist und dass es zu jedem solchen Wurzelsystem eine zugehörige halbeinfache Lie-Algebra gibt. Die einfachen Lie-Algebren, die nach obiger Definition ja die Bausteine der halbeinfachen bilden, lassen sich alle angeben; es handelt sich um vier unendliche Reihen einfacher Lie-Algebren sowie um fünf weitere, sogenannte exzeptionelle, Lie-Algebren. Jede endlichdimensionale, halbeinfache Lie-Algebra ist isomorph zu einer endlichen <a href="Direkte_Summe" title="Direkte Summe">direkten Summe</a> solcher einfacher Lie-Algebren.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Konstruktion_des_Wurzelsystems">Konstruktion des Wurzelsystems</h3></div>

Zu einer endlichdimensionalen, halbeinfachen Lie-Algebra <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy"> konstruieren wir wie folgt ein <a href="Wurzelsystem" title="Wurzelsystem">reduziertes Wurzelsystem</a>.

Man wähle eine Cartan-Unteralgebra <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy">. Alle Elemente aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {ad} \,H}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {ad} \,H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/89e886699c379678dda3c716ccb96b706338d321.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.906ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {ad} \,H}" loading="lazy"> sind <a href="Simultane_Diagonalisierbarkeit" class="mw-redirect" title="Simultane Diagonalisierbarkeit">simultan diagonalisierbar</a>, das heißt, es gibt endlich viele lineare Funktionale <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" loading="lazy"> auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" loading="lazy">, für die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L_{\alpha }:=\{x\in L|[hx]=\alpha (h)x\,\forall h\in H\}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L_{\alpha }:=\{x\in L|[hx]=\alpha (h)x\,\forall h\in H\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cd45b98b7e29ed889925580e2e90df30bdd97f8e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:36.286ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle L_{\alpha }:=\{x\in L|[hx]=\alpha (h)x\,\forall h\in H\}}" loading="lazy"> nicht der Nullraum ist, und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy"> ist die Vektorraumsumme dieser <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L_{\alpha }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L_{\alpha }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c43c3b10b17b9ec5db3bd140e0ed2d152b044efa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.867ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle L_{\alpha }}" loading="lazy">. Die vom Nullfunktional verschiedenen Funktionale <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L_{\alpha }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L_{\alpha }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c43c3b10b17b9ec5db3bd140e0ed2d152b044efa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.867ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle L_{\alpha }}" loading="lazy"> bilden ein endliches <a href="Erzeugendensystem" title="Erzeugendensystem">Erzeugendensystem</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Phi \subset H^{*}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi \subset H^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7bb296dc1807391f37e1b80b5748f013df45f279.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.934ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \Phi \subset H^{*}}" loading="lazy"> im <a href="Dualraum" title="Dualraum">Dualraum</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" loading="lazy">. Das <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Q} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5909f0b54e4718fa24d5fd34d54189d24a66e9a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.808ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Q} }" loading="lazy">-Erzeugnis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{\mathbb {Q} }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{\mathbb {Q} }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1157ee13bb99241085e2b5d8dd71a5a24948ccd8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.226ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle E_{\mathbb {Q} }}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aed80a2011a3912b028ba32a52dfa57165455f24.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Phi }" loading="lazy"> trägt die zur auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" loading="lazy"> nicht-ausgearteten Killing-Form duale Bilinearform <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\cdot ,\cdot )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\cdot ,\cdot )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0fc515c912925128800226dd0b017be508069e24.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.137ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\cdot ,\cdot )}" loading="lazy">. Beachte, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy"> als Körper der Charakteristik 0 den <a href="Primk%C3%B6rper" title="Primkörper">Primkörper</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Q} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5909f0b54e4718fa24d5fd34d54189d24a66e9a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.808ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Q} }" loading="lazy"> enthält. Diese Bilinearform lässt sich zu einer positiv definiten symmetrischen Bilinearform auf den <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }" loading="lazy">-Vektorraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E=\mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Q} }E_{\mathbb {Q} }}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E=\mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Q} }E_{\mathbb {Q} }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fdc4c144e54a759bf15644962039ad90c9c98075.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.129ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle E=\mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Q} }E_{\mathbb {Q} }}" loading="lazy"> erweitern, ebenso wie alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha \in \Phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha \in \Phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/83706fd434db8b4c9eb92b502342f88f0b5ece70.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.006ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \alpha \in \Phi }" loading="lazy">, deren Erweiterungen mit demselben Namen bezeichnet seien. Man kann zeigen, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E,\,(\cdot ,\cdot ),\,\Phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E,\,(\cdot ,\cdot ),\,\Phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a98a039d56b1f741f367f93a84e0d669c5518fe9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.433ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle E,\,(\cdot ,\cdot ),\,\Phi }" loading="lazy"> ein reduziertes Wurzelsystem bilden.<a href="#cite_note-6">[6]</a>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beispiel">Beispiel</h3></div>

Zur Verdeutlichung der angegebenen Konstruktion greifen wir obiges Beispiel der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L={\mathfrak {sl}}(2,C)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L={\mathfrak {sl}}(2,C)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/70b671cd5db12e7bb80451a1d5ec7504f55be855.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.135ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle L={\mathfrak {sl}}(2,C)}" loading="lazy"> noch einmal auf.

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H:=\mathbb {C} {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}=\left\{{\begin{pmatrix}z&0\\0&-z\end{pmatrix}}{\bigg |}\,z\in \mathbb {C} \right\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/21d2fa7bb0303087302eaf695a40e0e81f7a8f01.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:41.895ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle H:=\mathbb {C} {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}=\left\{{\begin{pmatrix}z&0\\0&-z\end{pmatrix}}{\bigg |}\,z\in \mathbb {C} \right\}}" loading="lazy">

ist eine Cartan-Unteralgebra, die Diagonalisierbarkeit von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {ad} \,h}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {ad} \,h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/83065c05299301af38d26b1e8921bea32c28bdcd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.181ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {ad} \,h}" loading="lazy"> liest man mühelos an obiger Matrix-Darstellung ab. Da <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" loading="lazy"> eindimensional ist und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {ad} \,h}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {ad} \,h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/83065c05299301af38d26b1e8921bea32c28bdcd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.181ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {ad} \,h}" loading="lazy"> die <a href="Eigenwert" class="mw-redirect" title="Eigenwert">Eigenwerte</a> 2, 0 und −2 hat, sind die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L_{\alpha }\neq \{0\}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L_{\alpha }\neq \{0\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7fbceb35d26b3eb26592b65fee495ccc8642a8b6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.453ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle L_{\alpha }\neq \{0\}}" loading="lazy"> genau für die Funktionale <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha _{2}:\,zh\mapsto 2z}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha _{2}:\,zh\mapsto 2z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/67875cd0daebaf0402f01a2f77302c9ecf787432.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.158ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \alpha _{2}:\,zh\mapsto 2z}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha _{0}:\,zh\mapsto 0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha _{0}:\,zh\mapsto 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8089c02f8bb0368b8c88cea1cf874b33f3f8882a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.07ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \alpha _{0}:\,zh\mapsto 0}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha _{-2}:\,zh\mapsto -2z}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha _{-2}:\,zh\mapsto -2z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/70c030dfebe004ae1142773a5b713dd53b4f51c7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.245ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \alpha _{-2}:\,zh\mapsto -2z}" loading="lazy"> vom Nullraum verschieden, es ist also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Phi =\{\alpha _{2},\alpha _{-2}\}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi =\{\alpha _{2},\alpha _{-2}\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bed33b5c918d696ac5a76e617f9a3ef653953d4a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.498ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Phi =\{\alpha _{2},\alpha _{-2}\}}" loading="lazy">. Damit besteht das Wurzelsystem aus einem Vektor zusammen mit seinem Negativen. Das ist ohnehin klar, wenn man weiß, dass dies bis auf Isomorphie das einzige eindimensionale, reduzierte Wurzelsystem ist.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Unabhängigkeit_von_der_Cartan-Unteralgebra">Unabhängigkeit von der Cartan-Unteralgebra</h3></div>

Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi :L\rightarrow L'}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi :L\rightarrow L'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bed0a955399bb199f02175488d8221e40ad29567.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.922ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \varphi :L\rightarrow L'}" loading="lazy"> ein Lie-Algebren-Isomorphismus, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" loading="lazy"> wie oben, so ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H':=\varphi (H)\subset L'}">

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H':=\varphi (H)\subset L'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/348b97861972ec03d7b2cd0feed0f999b208ebe2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.293ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle H':=\varphi (H)\subset L'}" loading="lazy"> ebenfalls eine Cartan-Unteralgebra und obige Konstruktion für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L',H'}">

<msup>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L',H'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2a757dd7f79995773e2f7616f0704fdd89f6e7d9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.09ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle L',H'}" loading="lazy"> liefert ein isomorphes Wurzelsystem, im Wesentlichen weil man <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy"> durch die gesamte Konstruktion ziehen kann.

Die Konstruktion eines Wurzelsystems verwendet aber die Wahl einer Cartan-Unteralgebra <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" loading="lazy">. Damit man hier eine nur von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy"> abhängige Isomophie-Invariante erhält, muss man zeigen, dass jede andere Cartan-Unteralgebra zu einem isomorphen Wurzelsystem führt. Hier hilft der sogenannte Konjugationssatz weiter, für den keine Halbeinfachheit erforderlich ist:

<ul><li>Für eine endlich-dimensionale Lie-Algebra über einem algebraisch abgeschlossenen Körper sind alle Cartan-Unteralgebren zueinander konjugiert.</li></ul>

Ist also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H'}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/575e08b1574dc1c2bb8c5941a2a68d6daca7fd8e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.788ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H'}" loading="lazy"> neben <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" loading="lazy"> eine weitere Cartan-Unteralgebra, so gibt es einen Isomorphismus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi :L\rightarrow L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi :L\rightarrow L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4c0a656aa9db34beeaac75fb9ae78be4df27d30e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.237ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \varphi :L\rightarrow L}" loading="lazy">, sogar eine Konjugation, mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H'=\varphi (H)}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H'=\varphi (H)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fe198d1914aed224d62dd9414c7db2ef9aaf6695.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.28ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle H'=\varphi (H)}" loading="lazy">, und die eingangs gemachte Bemerkung zeigt, dass die Wahlen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" loading="lazy"> bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H'}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/575e08b1574dc1c2bb8c5941a2a68d6daca7fd8e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.788ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H'}" loading="lazy"> zu isomorphen Wurzelsystemen führen.

Fazit: Die oben beschriebene Konstruktion eines reduzierten Wurzelsystems ist eine Isomorphie-Invariante der Lie-Algebra <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy">, das heißt, isomorphe, endlichdimensionale, halbeinfache Lie-Algebren haben isomorphe Wurzelsysteme.<a href="#cite_note-7">[7]</a>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Der_Isomorphiesatz">Der Isomorphiesatz</h3></div>

Bislang wissen wir, dass isomorphe, endlichdimensionale, halbeinfache Lie-Algebren isomorphe reduzierte Wurzelsysteme besitzen. Der sogenannte Isomorphiesatz sagt aus, dass umgekehrt zwei endlichdimensionale, halbeinfache Lie-Algebren mit isomorphen reduzierten Wurzelsystemen ihrerseits isomorph sind (beachte die Annahmen über den Grundkörper).

Die reduzierten Wurzelsysteme kennt man aber alle. Sie zerfallen in irreduzible Komponenten, das heißt <a href="Zusammenhang_(Graphentheorie)" title="Zusammenhang (Graphentheorie)">Zusammenhangskomponenten</a> der zugehörigen <a href="Dynkin-Diagramm" class="mw-redirect" title="Dynkin-Diagramm">Dynkin-Diagramme</a>, und diese korrespondieren zu einfachen direkten Summanden der Lie-Algebra. Die irreduziblen, reduzierten Wurzelsysteme kann man aufzählen. Wie im <a href="Wurzelsystem" title="Wurzelsystem">Artikel über Wurzelsysteme</a> ausgeführt, sind dies

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{n},n\geq 1,\quad B_{n},n\geq 2,\quad C_{n},n\geq 3,\quad D_{n},n\geq 4,\quad E_{6},E_{7},E_{8},\quad F_{4},\quad G_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/149e81b86e485558f1437f0d61b5631988993f38.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:74.671ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{n},n\geq 1,\quad B_{n},n\geq 2,\quad C_{n},n\geq 3,\quad D_{n},n\geq 4,\quad E_{6},E_{7},E_{8},\quad F_{4},\quad G_{2}}" loading="lazy">.</dd></dl>

In der nebenstehenden Skizze sind die zugehörigen Dynkin-Diagramme angegeben.

Genauer werden durch die Kürzel Isomorphieklassen von Wurzelsystemen definiert; man sagt daher auch, ein Wurzelsystem sei vom angegebenen Typ. Auch eine Lie-Algebra mit entsprechendem Wurzelsystem heißt Lie-Algebra dieses Typs.

Damit ist jede endlichdimensionale, halbeinfache Lie-Algebra isomorph zu einer direkten Summe einfacher Ideale, deren Typen in obiger Liste vorkommen.<a href="#cite_note-8">[8]</a>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Der_Existenzsatz">Der Existenzsatz</h3></div>

Nach dem bisher Gesagten wissen wir, dass die reduzierten Wurzelsysteme endlichdimensionaler, einfacher Lie-Algebren von oben aufgelisteten Typen sein müssen. Umgekehrt stellt sich natürlich die Frage, ob es zu jedem Typ eines reduzierten Wurzelsystems tatsächlich eine passende einfache Lie-Algebra gibt. Diese Frage wird durch den sogenannten Existenzsatz positiv beantwortet.

Nach einem auf <a href="Jean-Pierre_Serre" title="Jean-Pierre Serre">Serre</a> zurückgehenden Verfahren kann man mittels <a href="Freie_Lie-Algebra" title="Freie Lie-Algebra">freier Lie-Algebren</a>, wobei dann auch unendlichdimensionale Algebren vorkommen, und auf ihnen erklärter Relationen, das sind zwischen den Erzeugern der freien Algebra bestehende Gleichungen, die Existenz der gesuchten Lie-Algebren nachweisen. Die Relationen ergeben sich aus den Wurzelsystemen, sie erzeugen ein Ideal in einer gewissen freien Lie-Algebra und man muss schließlich zeigen, dass die Quotientenalgebra eine endlichdimensionale, halbeinfache Lie-Algebra mit dem vorgegebenen Wurzelsystem ist.<a href="#cite_note-9">[9]</a>

Was nun noch fehlt, ist eine konkrete Realisierung dieser einfachen Lie-Algebren, deren vollständige Angabe natürlich ebenfalls den Existenzsatz beweist. Für die vier Reihen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{n},B_{n},C_{n},D_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{n},B_{n},C_{n},D_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/45ef27c90564a8c7e8ca2fe00d26a9a63484f428.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.069ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{n},B_{n},C_{n},D_{n}}" loading="lazy"> ist das sehr einfach, die exzeptionellen Lie-Algebren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5360f7a21b46e5ec3a40b38bec24acb27b45e97f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.874ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}}" loading="lazy"> ergeben sich aus Algebren von Derivationen auf anderen exzeptionellen, nicht-assoziativen Algebren, genauer auf gewissen <a href="Jordan-Algebra" title="Jordan-Algebra">Jordan-Algebren</a> und auf der <a href="Oktave_(Mathematik)" title="Oktave (Mathematik)">Cayley-Algebra</a>. Nach Angabe dieser Liste kann man bis auf Isomorphie alle endlichdimensionalen, halbeinfachen Lie-Algebren hinschreiben.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Die_klassischen_Algebren">Die klassischen Algebren</h4></div>

Die einfachen Lie-Algebren zu den Wurzelsystemen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{n},B_{n},C_{n},D_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{n},B_{n},C_{n},D_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/45ef27c90564a8c7e8ca2fe00d26a9a63484f428.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.069ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{n},B_{n},C_{n},D_{n}}" loading="lazy"> nennt man die klassischen Algebren. Diese können leicht angegeben werden.<a href="#cite_note-10">[10]</a>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n+1,K):=\{x\in \mathrm {Mat} (n+1,K)|\,\mathrm {Spur} (x)=0\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3a1419594ecba6cf5678367d901ee89e8406ec71.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.041ex; width:49.997ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n+1,K):=\{x\in \mathrm {Mat} (n+1,K)|\,\mathrm {Spur} (x)=0\}}" loading="lazy"></dd></dl>

ist mit der <a href="Kommutator_(Mathematik)" title="Kommutator (Mathematik)">Kommutatorklammer</a> eine <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n(n+2)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n(n+2)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1597ed8e21feb9016d089f54689b942e18440dde.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.602ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle n(n+2)}" loading="lazy">-dimensionale, einfache Lie-Algebra vom Typ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/730f6906700685b6d52f3958b1c2ae659d2d97d2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.962ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{n}}" loading="lazy">, das heißt, das zugehörige reduzierte Wurzelsystem ist von diesem Typ. Man nennt sie die spezielle <a href="Lineare_Algebra" title="Lineare Algebra">lineare Algebra</a>, da sie die Lie-Algebra zur <a href="Spezielle_lineare_Gruppe" title="Spezielle lineare Gruppe">speziellen linearen Gruppe</a> ist. Der Fall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d9ec7e1edc2e6d98f5aec2a39ae5f1c99d1e1425.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n=1}" loading="lazy"> ist das oben vorgestellte Beispiel.

Es sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aba34f081d776e30204f3458e4f50b403b09e5c6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.242ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle I_{n}}" loading="lazy"> die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\times n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\times n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59d2b4cb72e304526cf5b5887147729ea259da78.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.63ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n\times n}" loading="lazy">-Einheitsmatrix, 0 bezeichne eine <a href="Nullmatrix" title="Nullmatrix">Nullmatrix</a> jeweils passender Größe und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{t}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{t}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8d2e395e2fd6847edf44e51eb4462b3d3047e4b4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.156ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x^{t}}" loading="lazy"> stehe für die <a href="Transponierte" class="mw-redirect" title="Transponierte">Transponierte</a> einer Matrix <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy">.

</mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {o}}(2n+1,K):=\left\{x\in \mathrm {Mat} (2n+1,K){\Bigg |}\,{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&I_{n}\\0&I_{n}&0\end{pmatrix}}x=-x^{t}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&I_{n}\\0&I_{n}&0\end{pmatrix}}\right\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d7c16e67fabafd90bc696b48232cf10fa34e316c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:79.965ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {o}}(2n+1,K):=\left\{x\in \mathrm {Mat} (2n+1,K){\Bigg |}\,{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&I_{n}\\0&I_{n}&0\end{pmatrix}}x=-x^{t}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&I_{n}\\0&I_{n}&0\end{pmatrix}}\right\}}" loading="lazy"></dd></dl>

heißt orthogonale Algebra und ist mit der Kommutatorklammer eine einfache <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n(2n+1)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n(2n+1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/327942ddf0533872be65a1caba976f784a61954b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.764ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle n(2n+1)}" loading="lazy">-dimensionale, einfache Lie-Algebra vom Typ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2f568bf6d34e97b9fdda0dc7e276d6c4501d2045.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.982ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle B_{n}}" loading="lazy">.

</mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,K):=\left\{x\in \mathrm {Mat} (2n,K){\Big |}\,{\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{pmatrix}}x=-x^{t}{\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{pmatrix}}\right\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/84924cd3c7cec069f77bcda5fef83a0181e20b26.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; margin-left: -0.041ex; width:67.765ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,K):=\left\{x\in \mathrm {Mat} (2n,K){\Big |}\,{\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{pmatrix}}x=-x^{t}{\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{pmatrix}}\right\}}" loading="lazy"></dd></dl>

heißt symplektische Algebra und ist mit der Kommutatorklammer eine einfache <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n(2n+1)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n(2n+1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/327942ddf0533872be65a1caba976f784a61954b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.764ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle n(2n+1)}" loading="lazy">-dimensionale, einfache Lie-Algebra vom Typ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0301812adb392070d834ca2df4ed97f1cf132f33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.88ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle C_{n}}" loading="lazy">.

</mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {o}}(2n,K):=\left\{x\in \mathrm {Mat} (2n,K){\Big |}\,{\begin{pmatrix}0&I_{n}\\I_{n}&0\end{pmatrix}}x=-x^{t}{\begin{pmatrix}0&I_{n}\\I_{n}&0\end{pmatrix}}\right\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7be08f38f827ef2a589e27c10d3c45da589a6605.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:63.052ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {o}}(2n,K):=\left\{x\in \mathrm {Mat} (2n,K){\Big |}\,{\begin{pmatrix}0&I_{n}\\I_{n}&0\end{pmatrix}}x=-x^{t}{\begin{pmatrix}0&I_{n}\\I_{n}&0\end{pmatrix}}\right\}}" loading="lazy"></dd></dl>

heißt orthogonale Algebra und ist mit der Kommutatorklammer eine einfache <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n(2n-1)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n(2n-1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3520a349efff24865a3ea825ae26836a8db7d688.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.764ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle n(2n-1)}" loading="lazy">-dimensionale, einfache Lie-Algebra vom Typ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0fe03857347bf517e7fbda4085b0dafd6018cf18.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.143ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle D_{n}}" loading="lazy">.

Die hier erneut verwendete Bezeichnung als orthogonale Algebra birgt keine Verwechslungsgefahr, da die Größen der auftretenden Matrizen jeweils gerade bzw. ungerade sind.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Die_exzeptionellen_Algebren">Die exzeptionellen Algebren</h4></div>

Wir beginnen mit dem einfacheren Fall der Lie-Algebra vom Typ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/645011b0c6933a02f5f7d84624f78220d747427e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.881ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle G_{2}}" loading="lazy">.

<ul><li>Bezeichnet <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {C}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {C}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c8cfb4d0d9067ed01e04e20160d7f644bf4955ef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.425ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {C}}}" loading="lazy"> die <a href="Oktave_(Mathematik)" title="Oktave (Mathematik)">Cayley-Algebra</a> über <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy">, so ist die Algebra <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {Der} ({\mathfrak {C}})}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {Der} ({\mathfrak {C}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9e08a69c5567db7262e8d00004727034054a7497.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.954ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {Der} ({\mathfrak {C}})}" loading="lazy"> der Derivationen auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {C}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {C}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c8cfb4d0d9067ed01e04e20160d7f644bf4955ef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.425ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {C}}}" loading="lazy"> eine 14-dimensionale einfache Lie-Algebra vom Typ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/645011b0c6933a02f5f7d84624f78220d747427e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.881ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle G_{2}}" loading="lazy">.<a href="#cite_note-11">[11]</a><a href="#cite_note-12">[12]</a></li></ul>

Die Angabe der exzeptionellen Lie-Algebren zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},F_{4}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},F_{4}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b5cd485368a0403aeb015576193308e8db7495bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.959ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},F_{4}}" loading="lazy"> ist aufwändiger, da hier exzeptionelle Jordan-Algebren ins Spiel kommen. Die Involution auf der Cayley-Algebra <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {C}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {C}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c8cfb4d0d9067ed01e04e20160d7f644bf4955ef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.425ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {C}}}" loading="lazy"> sei mit einem Querstrich bezeichnet. Dann definiere

</mrow>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {H}}({\mathfrak {C}}_{3}):=\left\{{\begin{pmatrix}\xi _{1}&c&{\overline {b}}\\{\overline {c}}&\xi _{2}&a\\b&{\overline {a}}&\xi _{3}\end{pmatrix}}{\Big |}\,\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3}\in K,\,a,b,c\in {\mathfrak {C}}\right\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0afbe545056773214e7aaeb14dd4574d36bb2a0a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.338ex; width:54.736ex; height:9.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {H}}({\mathfrak {C}}_{3}):=\left\{{\begin{pmatrix}\xi _{1}&c&{\overline {b}}\\{\overline {c}}&\xi _{2}&a\\b&{\overline {a}}&\xi _{3}\end{pmatrix}}{\Big |}\,\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3}\in K,\,a,b,c\in {\mathfrak {C}}\right\}}" loading="lazy">,</dd></dl>

das ist der 27-dimensionale Raum der „<a href="Hermitesche_Matrix" title="Hermitesche Matrix">hermiteschen</a>“ 3er-Matrizen über <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {C}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {C}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c8cfb4d0d9067ed01e04e20160d7f644bf4955ef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.425ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {C}}}" loading="lazy">. Das Jordan-Produkt

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle x\cdot y:={\frac {1}{2}}(xy+yx),\quad x,y\in {\mathfrak {H}}({\mathfrak {C}}_{3})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e63e4fe82557b050aedeccdbd865713152adaf58.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:34.866ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \textstyle x\cdot y:={\frac {1}{2}}(xy+yx),\quad x,y\in {\mathfrak {H}}({\mathfrak {C}}_{3})}" loading="lazy"></dd></dl>

macht diesen Raum zu einer mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {J}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {J}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/053e06f583204663ebbc8f8a8638796cef973a61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; margin-left: -0.022ex; width:1.305ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {J}}}" loading="lazy"> bezeichneten Jordan-Algebra. Das ist nicht selbstverständlich, da der Raum der 3er-Matrizen über <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {C}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {C}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c8cfb4d0d9067ed01e04e20160d7f644bf4955ef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.425ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {C}}}" loading="lazy"> nicht assoziativ ist. (Man kann zeigen, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {J}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {J}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/053e06f583204663ebbc8f8a8638796cef973a61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; margin-left: -0.022ex; width:1.305ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {J}}}" loading="lazy"> exzeptionell ist, das heißt, nicht isomorph zu einer Jordan-Algebra ist, die sich von einer <a href="Assoziative_Algebra" title="Assoziative Algebra">assoziativen Algebra</a> herleitet.) Hiermit können wir den nächsten exzeptionellen Lie-Typ realisieren:

<ul><li>Die Algebra <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {Der} ({\mathfrak {J}})}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {Der} ({\mathfrak {J}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5fd9b9d21f3471a871949cf87b9959d1d8ee2c5e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.812ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {Der} ({\mathfrak {J}})}" loading="lazy"> der Derivationen auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {J}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {J}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/053e06f583204663ebbc8f8a8638796cef973a61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; margin-left: -0.022ex; width:1.305ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {J}}}" loading="lazy"> ist mit der Kommutatorklammer eine 52-dimensionale, einfache Lie-Algebra vom Typ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{4}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{4}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8718a2df1e70bea3cd21ab9e0cd45dc354818451.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.549ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{4}}" loading="lazy">.<a href="#cite_note-13">[13]</a></li></ul>

Wir vergrößern nun <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {Der} ({\mathfrak {J}})}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {Der} ({\mathfrak {J}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5fd9b9d21f3471a871949cf87b9959d1d8ee2c5e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.812ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {Der} ({\mathfrak {J}})}" loading="lazy">. Für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in {\mathfrak {J}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in {\mathfrak {J}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/163bc710d9728902329815f4d63669814e359629.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.454ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x\in {\mathfrak {J}}}" loading="lazy"> bezeichne <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R_{x}\in \mathrm {End} ({\mathfrak {J}})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R_{x}\in \mathrm {End} ({\mathfrak {J}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b0725f5dd3be71a96e588a73e009a07128c56bba.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.038ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle R_{x}\in \mathrm {End} ({\mathfrak {J}})}" loading="lazy"> die Rechtsmultiplikation mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy">, das heißt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R_{x}(y):=y\cdot x}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R_{x}(y):=y\cdot x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2ce9eccc35d5913ef160a43b604f23e3f109847a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.811ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle R_{x}(y):=y\cdot x}" loading="lazy">, wobei hier das Jordan-Produkt verwendet wird. Weiter sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {J}}_{0}}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {J}}_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a9c1da4f71953b774b857b44f71317b710aba76d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.022ex; width:2.36ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {J}}_{0}}" loading="lazy"> die Menge aller Elemente aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {J}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {J}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/053e06f583204663ebbc8f8a8638796cef973a61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; margin-left: -0.022ex; width:1.305ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {J}}}" loading="lazy"> mit Spur 0, das heißt, für die in oben verwendeter Definition <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \xi _{1}+\xi _{2}+\xi _{3}=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \xi _{1}+\xi _{2}+\xi _{3}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b082615f70e40294149e6c4a9e71ddb1801431ef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.16ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \xi _{1}+\xi _{2}+\xi _{3}=0}" loading="lazy"> gilt.

<ul><li>Die Summe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {Der} ({\mathfrak {J}})+\{R_{x}|x\in {\mathfrak {J}}_{0}\}}">

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {Der} ({\mathfrak {J}})+\{R_{x}|x\in {\mathfrak {J}}_{0}\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7326f02030fed1fdfc8c8f0630ef428c44c27bb2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.069ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {Der} ({\mathfrak {J}})+\{R_{x}|x\in {\mathfrak {J}}_{0}\}}" loading="lazy"> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {End} ({\mathfrak {J}})}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {End} ({\mathfrak {J}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cc6e4a5c6e3b32cad558d65b4d6a81e2aaa20baa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.26ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {End} ({\mathfrak {J}})}" loading="lazy"> ist mit der Kommutatorklammer eine 78-dimensionale, einfache Lie-Algebra vom Typ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{6}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{6}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fe9319a2bccb13e55ac59551d91907827b3fde6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.769ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E_{6}}" loading="lazy">.<a href="#cite_note-14">[14]</a></li></ul>

Für die 133-dimensionale, einfache Lie-Algebra vom Typ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{7}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{7}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5ee54d48879bea60bf535140cd2c6a1bd296b4d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.769ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E_{7}}" loading="lazy"> und die 248-dimensionale, einfache Lie-Algebra vom Typ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{8}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{8}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48479e96d90b4cfabc7784106cc3cfff907dda34.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.769ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E_{8}}" loading="lazy"> wird auf das unten angegebene Lehrbuch von Richard D. Schafer bzw. auf die dort angegebene Literatur verwiesen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Cartan-Matrix" title="Cartan-Matrix">Cartan-Matrix</a></li>

<li><a href="Gruppe_vom_Lie-Typ" title="Gruppe vom Lie-Typ">Gruppe vom Lie-Typ</a></li>

<li><a href="Halbeinfache_Lie-Gruppe" title="Halbeinfache Lie-Gruppe">Halbeinfache Lie-Gruppe</a></li>

<li><a href="Kac-Moody-Algebra" title="Kac-Moody-Algebra">Kac-Moody-Algebra</a></li>

<li><a href="Symmetrischer_Raum" title="Symmetrischer Raum">Symmetrischer Raum</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"></div><a href="https://de.wikibooks.org/wiki/Beweisarchiv:_Lie-Algebren:_Wurzelsysteme:_Klassifikation_von_Wurzelsystemen" class="extiw external" title="b:Beweisarchiv: Lie-Algebren: Wurzelsysteme: Klassifikation von Wurzelsystemen">Wikibooks: Ausführlicher Beweis der Klassifikation</a> – Lern- und Lehrmaterialien</div>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> James E. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Springer, Berlin / New York 1972, ISBN 0-387-90053-5.

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Richard D. Schafer: An Introduction to Nonassociative Algebras. Courier Dover Publications 1966, ISBN 0-486-68813-5 (<a href="https://www.gutenberg.org/ebooks/25156" class="extiw external" title="gutenberg:25156">frei verfügbar</a> im <a href="Project_Gutenberg" title="Project Gutenberg">Project Gutenberg</a>).

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge University Press (2005), ISBN 978-0-521-85138-1

</li>

<li id="cite_note-Humphreys_Chapter_II-4">↑ <a href="#cite_ref-Humphreys_Chapter_II_4-0">a</a> <a href="#cite_ref-Humphreys_Chapter_II_4-1">b</a> James E. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Springer, Berlin / New York 1972, ISBN 0-387-90053-5, Kapitel II: Semisimple Lie Algebras.

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> James E. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Springer, Berlin / New York 1972, ISBN 0-387-90053-5, Kapitel III, 15.3: Cartan subalgebras.

</li>

<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> James E. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Springer, Berlin / New York 1972, ISBN 0-387-90053-5, Kap II, 8: Root space decomposition.

</li>

<li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> James E. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Springer, Berlin / New York 1972, ISBN 0-387-90053-5, Kapitel IV, 16: Conjugacy theorems.

</li>

<li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> James E. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Springer, Berlin / New York 1972, ISBN 0-387-90053-5, Kapitel IV, 14.2: Isomorphism theorem.

</li>

<li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">↑</a> James E. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Springer, Berlin / New York 1972, ISBN 0-387-90053-5, Kapitel V, 18.3 : Serre's Theorem.

</li>

<li id="cite_note-10"><a href="#cite_ref-10">↑</a> James E. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Springer, Berlin / New York 1972, ISBN 0-387-90053-5, Kapitel V, 19.2: The classical algebras.

</li>

<li id="cite_note-11"><a href="#cite_ref-11">↑</a> James E. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Springer, Berlin / New York 1972, ISBN 0-387-90053-5, Kapitel V, 19.3: The algebra G2.

</li>

<li id="cite_note-12"><a href="#cite_ref-12">↑</a> Richard D. Schafer: An Introduction to Nonassociative Algebras. Courier Dover Publications, 1966, ISBN 0-486-68813-5, Kapitel III,8 :Derivations; Simple Lie Algebras of Type G.

</li>

<li id="cite_note-13"><a href="#cite_ref-13">↑</a> Richard D. Schafer: An Introduction to Nonassociative Algebras. Courier Dover Publications, 1966, ISBN 0-486-68813-5, Kapitel IV, Theorem 4.9.

</li>

<li id="cite_note-14"><a href="#cite_ref-14">↑</a> Richard D. Schafer: An Introduction to Nonassociative Algebras. Courier Dover Publications, 1966, ISBN 0-486-68813-5, Kapitel IV, 4: Simple Lie Algebras of Type E6.

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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